Pasajes Selectos

Historia

En 1887, Heinrich Rudolph Hertz mientras se encontraba detectando ondas electromagnéticas también descubrió un fenómeno que eventualmente dió origen a la descripción de la luz en términos de corpúsculos: los fotones.

En 1900, Max Planck presentó una nueva forma de la distribución espectral de la radiación de objetos negros, basado en una hipótesis revolucionaria. Un objeto negro es un objeto que absorbe toda la energía que le cae encima y, puesto que no refleja la luz, parece ser negro a un observador. Planck postuló que la energía de un oscilador de una frecuencia dada v no puede tener valores arbitrarios entre cero e infinito, pero que sólo puede tener valores discretos nε₀, en que n es un número entero positivo o es cero, y donde ε₀ es una cantidad finita, ó cuántico de energía, que puede depender de la frecuencia v de tal modo que ε₀ = hv en la que h es una constante física fundamental, llamada la constante de Planck, que es usada para describir la cantidad de energía en un quantum.

La idea de la cuantización de la energía, en la cual la energía de un sistema sólo puede adquirir ciertos valores discretos, estaba en totalmente desacuerdo con la física clásica, y la teoría de Planck no fué fácilmente aceptada.

En 1905, Albert Einstein propuso la idea de que esas propiedades cuánticas eran inherentes en la naturaleza de la radiación electromagnética misma, de tal manera que la luz consistía de cuánticas (corpúsculos) llamados fotones.

En 1911, Ernest Rutherford postuló que toda la carga positiva y que casi toda la masa de un átomo está concentrada en un núcleo que tiene una carga positiva y una dimensión muy pequeña en comparación con la dimensión del átomo completo.

En 1913, un paso adelante mayor fué tomado por Niels Bohr para explicar el espectro del átomo de hidrógeno al introducir el concepto cuántico en la física de los átomos. Combinando los conceptos del átomo nuclear de Rutherford, de la cuántica de Planck y de los fotones de Einstein, Bohr pudo explicar el espectro observado del átomo de hidrógeno. Sin embargo, varios desacuerdos así como varias objeciones persistieron acerca de la teoría referida hoy en día como la teoría cuántica vieja.

En 1923, Bohr formuló un principio heurístico que había anteriormente inspirado el desarrollo de la teoría cuántica vieja, y que resultó ser de gran ayuda en el desarrollo inicial de la mecánica cuántica. Este principio, llamado como el principio de correspondencia, estipuló que resultados de la teoría cuántica tienen una tendencia asintótica a esos resultados que se obtienen en la física clásica en el límite de números cuánticos grandes. Es decir, los resultados de la física clásica son 'correctos macroscópicamente' y pueden ser considerados como casos de los resultados de los límites de la mecánica cuántica, resultados en los cuales se pueden ignorar las discontinuidades cuánticas.

En 1923-4, Louis de Broglie enunció una hipótesis a la vez unificadora como audaz que, además de las propiedades cuánticas, las partículas materiales podrían tener propiedades de ondas, de ésta manera, tal como la radiación electromagnética, demostrarían propiedades de tipo como ondas, y de esta manera, así como la radiación electromagnética, ellas demostrarían una naturaleza doble: un comportamiento cuántico (es decir corpuscular) a la vez que un comportamiento como ondas. De esta manera, la dualidad de partículas-ondas se transformó en una característica universal de toda la naturaleza. Broglie determinó que no sólo los electrones pero también todas las partículas físicas tienen una característica de partícula-onda. Esta universalidad de la materia ondular ha sido confirmada por un número de experimentos.

Vale recalcar el hecho que la característica ondular de la materia está relacionada directamente con la característica finita de la constante de Planck h. Si consideramos p como la magnitud del momento de un fotón, entonces si h fuera cero, la longitud de onda de de Broigle λ = h/p de una partícula material también desaparecería, y la partícula obedecería las leyes de la mecánica clásica. Es el hecho de que la constante de Planck es 'pequeña' (cuando medida en unidades apropiadas para la descripción de fenómenos macroscópicos) que el comportamiento ondular de la materia no es aparente ni visible en la escala macroscópica.

El requisito que la mecánica clásica está involucrada en el caso limitante de cuando la longitud de onda de de Broigle λ → 0 (es decir, cuando h → 0) está de acuerdo con el principio de correspondencia de la mecánica cuántica postulado por Niels Bohr.

Como resultado de esta evidencia experimental, fué necesario la introducción de conceptos revolucionarios, tales como la de cuantización y de la dualidad de partículas-ondas, y una nueva teoría, llamada mecánica cuántica, fué desarrollada en los años de 1925 y 1930. De hecho, dos propuestas equivalentes de la teoría surgieron casi al mismo tiempo.

La primera teoría, llamada mecánica de matriz fué desarrollada durante los años de 1925 y 1926 por W. Heisenberg, M. Born y P. Jordan. De acuerdo con esta teoría, sólo cantidades que son observables físicamente fueron propuestas, y con cada cantidad física la teoría le asocia una matriz .

La segunda forma de la mecánica cuántica, llamada mecánica ondular, fué propuesta en 1925 por E. Schrödinger, siguiendo las ideas propuestas en 1923 por L. de Broglie acerca de ondas materiales.

La equivalencia de la mecánica de matriz y de la mecánica ondular fué comprobada en 1926 por Schrödinger. De hecho, ambas la mecánica de matriz y la mecánica ondular son formas particulares de la formulación general de la mecánica cuántica que fué desarrollada por P.A.M. Dirac en 1930.

Alrededor de 1927, la colaboración de Bohr y Heisenberg avanzó más la interpretación probabilística de la función ondular propuesta por Max Born. Esto se conoció por el nombre de la "Interpretación de Copenhagen" de la mecánica cuántica pués fué en gran parte desarrollada en el Instituto de Estudios Atómicos de Niels Bohr en Copenhagen, Dinamarca. A pesar que tanto como Bohr y Heisenberg nunca estuvieron completamente de acuerdo de la manera apropiada de como debía ser interpretado el formalismo matemático de la mecánica cuántica, y ninguno de ellos usó nunca el término de la "interpretación de Copenhagen” para referirse a sus ideas.

Se puede decir que la formulación general de la mecánica cuántica, así como la mecánica de matriz, requieren de la matemática abstracta. La mecánica ondular, por el otro lado, es más acogedora como contacto inicial con la teoría cuántica.

Recientemente, quizás en parte en respuesta a las dificultades severas que le han acaecido a la teoría cuántica en su nivel fundamental, ha habido más y más crítica de la interpretación de Copenhagen. Como resultado de ésto, propuestas más recientes tratan de completar la mecánica cuántica no basadas en la mecánica cuántica misma sino basadas en un nivel "más alto (y sintético)", ya sea a través de una combinación con la teoría de la gravedad (R. Penrose), con la teoría de la informática cuántica (C.M. Caves, C.A. Fuchs) o con la psicología y la ciencia del cerebro (H.P. Stapp).

De acuerdo a G. Mahler del Instituto de Física Teorética, de Stuttgart, Alemania, la mecánica cuántica está definida usualmente con términos de axiomas de conexiones y de reglas de una manera imprecisa, y mira a todas estas propuestas recientes como combinaciones con una materia que, de por sí, sufre de una comprensión de por si muy limitada que es aún más severa que la de la mecánica cuántica. Y hasta donde nos llevarán estas direcciones dependerá de la cantidad de los resultados de investigaciones concretas que resulten para respaldar estas propuestas.

Características Notables

Espacio Vectorial

La mecánica cuántica es la descripción más completa y exacta del mundo conocido. Una de las fundaciones de la mecánica cuántica es el espacio vectorial. Debido a ésto, una comprensión de la mecánica cuántica requiere un conocimiento completo de los elementos del álgebra lineal. El álgebra lineal es el estudio del espacio vectorial y de las operaciones lineales con esos espacios vectoriales así como con sus elementos, es decir, con los vectores.

Es fácil aprender la mecánica cuántica, a pesar de la reputación que tiene de ser una materia difícil. Esta reputación se origina en la dificultad de algunas aplicaciones, como sería tratando de comprender la estructura de moléculas complicadas, cosa que no es fundamental para comprender la mecánica cuántica. Como se explicó anteriormente, el único prerrequisito para la comprensión de la mecánica cuántica es tener alguna familiaridad con el álgebra lineal elemental. Los objetos básicos del álgebra lineal son los espacios vectoriales, y los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. La codificación estándar de la mecánica cuántica para un vector en el espacio vectorial es la siguiente: |v>, adonde la v es la etiqueta o nombre del vector.

La noción de vectores ha resultado en algo de gran valor tanto en la física como en la matemática por dos razones principales: (1) Los vectores capacitan a uno para razonar acerca de problemas en el espacio sin hacer uso de coordenadas. Como las leyes de física no dependen de una posición particular de coordenadas en el espacio, los vectores facilitan admirablemente la enunciación de tales leyes. (2) Los vectores proveen una manera abreviada para describir fórmulas complicadas.

Codificación Dirac: Cbits y Qbits

El Cbit es el término que se usa para describir un estado en el mundo clásico. El Qbit es el término que se usa para describir su generalización cuántica. Esta terminología fué inspirada por Paul Dirac con su uso temprano del c-número y del q-número para describir cantidades clásicas y sus generalizaciones en la mecánica cuántica. Donde la "c" se refiere al mundo "clásico" y la "q" se refiere al mundo "cuántico".

Como la mecánica cuántica depende tan fuertemente del espacio vectorial y los vectores, Dirac introdujo la codificación '| >' para simplificar la identificación y manipulación de Cbits y Qbits como vectores, y es ahora la codificación estándar que describe los estados en la mecánica cuántica. El '>' de la codificación identifica el Cbit o Qbit como un vector (aún así cuando no hay mucha utilidad en pensar del estado de un Cbit como un vector, pero eso sí es fundamental e inevitable en el caso de un Qbit). La mayor diferencia entre un Cbit y un Qbit (este último que valga decir también se deletrea con minúscula así como Qubit) es que un Qbit puede estar en otros estados además |0> ó |1>, mientras que el estado de un Cbit es solamente uno de esos dos; además, con Qbits también se pueden formar combinaciones lineales, llamadas superposiciones , tales como: |ν> = α|0> + β|1>, donde los números ν α y β son números complejos; y, en particular, en que con Cbits el número α de |α> es un número real, mientras que en Qbits es un número complejo.

El estado general de un Qbit es |ν> = α₀|0> + α₁|1>, donde α₀ y α₁ son dos números complejos constreñidos sólo por el requisito de que |ν>, igual que |0> y que |1>, sea un vector de unidad en el espacio vectorial complejo, es decir constreñidos sólo la condición de normalización |α₀|² + |α₁|² = 1. Uno entonces dice que el estado |ν> es una superposición de los estados |0> y |1> con amplitudes α₀ y α₁.

La Física Clásica y la Mecánica Cuántica

Lo que es raro con la mecánica cuántica, por lo menos desde un punto de vista de la física clásica, es que no podemos observar directamente el estado vectorial.

La física clásica --y nuestra intuición-- nos dice que las propiedades fundamentales de un objeto, tales como la energía, la posición, y la velocidad, son accesible directamente a nuestra observación. Pero en la mecánica cuántica estas cantidades ya no parecen tan fundamental, habiendo sido reemplazadas por el estado vectorial, que no puede ser observado directamente. La cosa es como si existiera un mundo escondido en la mecánica cuántica, un mundo al que sólo tenemos acceso de una manera indirecta e imperfecta. Además, cuando uno simplemente observa al sistema clásico ésto no cambia necesariamente al estado del sistema. Pero, el acto de observación en la mecánica cuántica es una cosa invasora que típicamente cambia el estado del sistema. Como resultado de todo ésto, estamos condenados con una naturaleza que no es intuitiva en la mecánica cuántica. Sin embargo, resulta que el mundo clásico puede ser derivado de la mecánica cuántica como una representación aproximada del mundo, representación que será válida para las condiciones y escalas de tiempo, longitud y materia que encontramos comúnmente en nuestra vida diaria.

Estadística y la Mecánica Cuántica

Dado un Qbit |ν> = α|0> + β|1>, no es posible examinar el Qbit para determinar su estado cuántico, es decir los valores de α y β. En vez de éso, la mecánica cuántica nos dice que sólo podemos adquirir información de una manera más restringida acerca del estado cuántico. Cuando medimos un Qbit podemos obtener o el resultado 0, con una probabilidad de α², o el resultado 1, con una probabilidad β². Naturalmente, α²+β²=1, puesto que probabilidades deben de tener como suma el número uno. En general, el estado de un Qbit es un vector de unidad en un espacio vectorial complejo de dos dimensiones. Esta dicotomía entre el estado de un Qbit que no es observable y las observaciones que podemos hacer está en el centro de computaciones cuánticas y de la información cuántica.

La inigualdad de Bell, junto con una cantidad substancial de evidencia experimental, nos da como conclusión que debemos ignorar en nuestra experiencia del mundo o a la localidad o al realismo o a ambas de ellas si es que vamos a desarrollar una buena comprensión intuitiva de la mecánica cuántica. Todo lo que presidió a la mecánica cuántica, sea relativístico o no, se denomina ahora la física clásica.

El Mundo de la Física Clásica vs. El Mundo de la Mecánica Cuántica

El mundo clásico que vemos puede ser derivado de la mecánica cuántica como una descripción aproximada, descripción que será válida sólo en el tipo de las escalas del tiempo, longitud y materia que encontramos de una manera común en nuestras vidas diarias.

La Dualidad Onda-Partícula

Cuando transitando, un electrón o fotón se comporta como una onda, y sólo manifiesta su propiedad corpuscular cuando es detectado. Sin embargo, es imposible pronosticar el lugar donde será detectado. Lo que si se puede pronosticar es la intensidad de la distribución que se acumula sólo después de un número grande de acontecimientos (es decir, de diferentes acontecimientos) han ocurrido. Esto sugiere que, para una partícula individual (es decir, un acontecimiento sólo), el proceso que sigue es de naturaleza estadística, así que uno sólo se puede determinar la probabilidad (es decir, la probabilidad estadística) P que nos dice que una partícula puede ser detectada en cierto punto. La probabilidad de que estamos hablando es el número de veces que un acontecimiento ocurre (es decir, un acontecimiento específico) dividido por el número total de acontecimientos (algo distinto de la "probabilidad matemática" que pronostica el resultado de un acontecimiento sin la necesidad de la intensidad de la distribución de acontecimientos anteriores, por ejemplo, la probabilidad de que el número seis resultará al botar los dados).

En la mecánica cuántica podemos introducir una función ondular o una función del estado U(x,y,z,t) que se comporta como la amplitud de la probabilidad. Dado ésto, es de esperar que la probabilidad P(x,y,z,t) que existe en encontrar la partícula en un punto determinado dentro de un volumen V cerca del punto con coordinadas (x,y,z) al tiempo t es proporcional a U², es decir: P(x,y,z,t) ~ U(x,y,z,t)². Y, puesto que probabilidades son números positivos, en la proporcionalidad que precedía la probabilidad P está asociada con el cuadrado del módulo de la función ondular U.

Es menester recalcar que, contrario a las ondas clásicas (tales como ondas de sonido o de agua), la función ondular U(x,y,z,t) es una cantidad abstracta, cuya interpretación es sólo de naturaleza estadística. Esto no es sorprendente puesto que la mecánica cuántica es una teoría estadística: pués trata de probabilidades.

En la mecánica cuántica, el Principio Incierto de Heisenberg para la posición y el momento de una partícula declara que un estado no puede ser construido en el cual tanto la posición como el momento de una partícula puede ser definida con precisión arbitraria. Sólo uno y no el otro, y a veces ninguno, puede ser definido a la vez. La mecánica cuántica solo pronostica el número n de veces que un resultado particular puede ser obtenido cuando un gran número N de sistemas físicos idénticos, independientes, y preparados idénticamente (llamado un conjunto estadístico o, simplemente, un conjunto) se someten a un proceso de medición. En otras palabras, la mecánica cuántica sólo pronostica la frecuencia estadística n/N, ó probabilidad de un evento.

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Bibliografía

• Bransden, B.H. and Joachain, C.J.:1990, "Introduction to Quantum Mechanics", Longman Scientific & Technical, Longman Group UK Limited, Essex CM20 2JE, England (ISBN 0-582-44498-5)

• Kaplan, W.:1952, "Advanced Calculus", Addison-Wesley Press, Inc., Cambridge 42, Massachusetts, USA., (Library of Congress Catalog No. 52-7667)

• March, X.:2007, "Of Quantum Mechanics -- A Simplified Summary for Neophytes Like Me" http://ofquantummechanics.blogspot.com/

• Kitaev, A:Yu, Shen, A.H., and Vyalyi, M.N.:2002, "Classical and Quantum Computation" American Mathematical Society, Rhode Island, U.S.A. (ISBN 0-8218-3229-8)

• Nielsen, M.A, and Chuang, I.L.:2005, "Quantum Computation and Quantum Information" Eight Printing, University Press, Cambridge, UK. (ISBN 0-521-63503-9)

• Stapp, H.P.:2004, "Mind, Matter And Quantum Mechanics" Second Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (ISBN 3-540-40761-8)